$$$\sqrt{- x}$$$の積分

$$$\int \sqrt{- x}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\sqrt{- x} d x}=\int{i \sqrt{x} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=i$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{i \sqrt{x} d x}}} = {\color{red}{i \int{\sqrt{x} d x}}}$$

$$$n=\frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$i {\color{red}{\int{\sqrt{x} d x}}}=i {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{2}} d x}}}=i {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=i {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{i \sqrt{x} d x} = \frac{2 i x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{i \sqrt{x} d x} = \frac{2 i x^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{- x}\, dx = \frac{2 i x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A