$$$j_{0} x^{2} x^{s}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int j_{0} x^{2} x^{s}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{j_{0} x^{2} x^{s} d x}=\int{j_{0} x^{s + 2} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=j_{0}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{s + 2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{j_{0} x^{s + 2} d x}}} = {\color{red}{j_{0} \int{x^{s + 2} d x}}}$$

$$$n=s + 2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$j_{0} {\color{red}{\int{x^{s + 2} d x}}}=j_{0} {\color{red}{\frac{x^{\left(s + 2\right) + 1}}{\left(s + 2\right) + 1}}}=j_{0} {\color{red}{\frac{x^{s + 3}}{s + 3}}}$$

したがって、

$$\int{j_{0} x^{s + 2} d x} = \frac{j_{0} x^{s + 3}}{s + 3}$$

積分定数を加える:

$$\int{j_{0} x^{s + 2} d x} = \frac{j_{0} x^{s + 3}}{s + 3}+C$$

$$$\int j_{0} x^{2} x^{s}\, dx = \frac{j_{0} x^{s + 3}}{s + 3} + C$$$A