$$$x^{n} \left(1 - x\right)$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int x^{n} \left(1 - x\right)\, dx$$$ を求めよ。

この積分には閉形式はありません:

$${\color{red}{\int{x^{n} \left(1 - x\right) d x}}} = {\color{red}{\frac{x^{n + 1} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} -1, n + 1 \\ n + 2 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{n + 1}}}$$

したがって、

$$\int{x^{n} \left(1 - x\right) d x} = \frac{x^{n + 1} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} -1, n + 1 \\ n + 2 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{n + 1}$$

簡単化せよ:

$$\int{x^{n} \left(1 - x\right) d x} = \frac{x^{n + 1} \left(n - x \left(n + 1\right) + 2\right)}{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{n} \left(1 - x\right) d x} = \frac{x^{n + 1} \left(n - x \left(n + 1\right) + 2\right)}{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}+C$$

$$$\int x^{n} \left(1 - x\right)\, dx = \frac{x^{n + 1} \left(n - x \left(n + 1\right) + 2\right)}{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)} + C$$$A