|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$x^{8} - x^{2}$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(x^{8} - x^{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(x^{8} - x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{x^{2} d x} + \int{x^{8} d x}\right)}}$$
$$$n=8$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{x^{8} d x}}}=- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 8}}{1 + 8}}}=- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{9}}{9}\right)}}$$
$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{x^{9}}{9} - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\frac{x^{9}}{9} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{x^{9}}{9} - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(x^{8} - x^{2}\right)d x} = \frac{x^{9}}{9} - \frac{x^{3}}{3}$$
簡単化せよ:
$$\int{\left(x^{8} - x^{2}\right)d x} = \frac{x^{3} \left(x^{6} - 3\right)}{9}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(x^{8} - x^{2}\right)d x} = \frac{x^{3} \left(x^{6} - 3\right)}{9}+C$$
解答
$$$\int \left(x^{8} - x^{2}\right)\, dx = \frac{x^{3} \left(x^{6} - 3\right)}{9} + C$$$A