$$$x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)}$$$の積分

$$$\int x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=4 x^{6}$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 x^{6}\right)^{\prime }dx = 24 x^{5} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{5} dx = \frac{du}{24}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{24} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{24}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{24} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{24}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{24} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{24}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 x^{6}$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{24} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(4 x^{6}\right)}} \right)}}{24}$$

したがって、

$$\int{x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(4 x^{6} \right)}}{24}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(4 x^{6} \right)}}{24}+C$$

$$$\int x^{5} \sin{\left(4 x^{6} \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(4 x^{6} \right)}}{24} + C$$$A