$$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$$の積分

$$$\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\, dx$$$ を求めよ。

分子の次数が分母の次数以上であるため、多項式の長除法を行います（手順は»で確認できます）:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(x + \frac{9 x}{x^{2} - 9}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(x + \frac{9 x}{x^{2} - 9}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} + \int{\frac{9 x}{x^{2} - 9} d x}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\int{\frac{9 x}{x^{2} - 9} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=\int{\frac{9 x}{x^{2} - 9} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{\frac{9 x}{x^{2} - 9} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

$$$u=x^{2} - 9$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{2} - 9\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$\frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\frac{9 x}{x^{2} - 9} d x}}} = \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\frac{9}{2 u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{9}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$\frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\frac{9}{2 u} d u}}} = \frac{x^{2}}{2} + {\color{red}{\left(\frac{9 \int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{x^{2}}{2} + \frac{9 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{2} - 9$$$:

$$\frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} - 9\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} d x} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln{\left(\left|{x^{2} - 9}\right| \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} d x} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln{\left(\left|{x^{2} - 9}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\, dx = \left(\frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln\left(\left|{x^{2} - 9}\right|\right)}{2}\right) + C$$$A