$$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{1}{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{p} \operatorname{dv} = \operatorname{p}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dp}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{p}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dp}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$- {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- u e^{u} + {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - u e^{u} + {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} - {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}} - {\color{red}{\frac{1}{x}}} e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x} + C$$$A