$$$\frac{x}{\sqrt{x^{5}}}$$$の積分

$$$\int \frac{x}{\sqrt{x^{5}}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\frac{x}{\sqrt{x^{5}}} d x}=\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x}$$$。

$$$n=- \frac{3}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x}}}={\color{red}{\int{x^{- \frac{3}{2}} d x}}}={\color{red}{\frac{x^{- \frac{3}{2} + 1}}{- \frac{3}{2} + 1}}}={\color{red}{\left(- 2 x^{- \frac{1}{2}}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{2}{\sqrt{x}}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{2}{\sqrt{x}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x} = - \frac{2}{\sqrt{x}}+C$$

$$$\int \frac{x}{\sqrt{x^{5}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}} + C$$$A