$$$x e^{\frac{x}{5}}$$$の積分

$$$\int x e^{\frac{x}{5}}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{x e^{\frac{x}{5}} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{\frac{x}{5}} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{\frac{x}{5}} d x}=5 e^{\frac{x}{5}}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{x e^{\frac{x}{5}} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot 5 e^{\frac{x}{5}}-\int{5 e^{\frac{x}{5}} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(5 x e^{\frac{x}{5}} - \int{5 e^{\frac{x}{5}} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=5$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{5}}$$$ に対して適用する:

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - {\color{red}{\int{5 e^{\frac{x}{5}} d x}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - {\color{red}{\left(5 \int{e^{\frac{x}{5}} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{x}{5}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{5}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{5}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 5 du$$$ となります。

したがって、

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - 5 {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{5}} d x}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 5 {\color{red}{\int{5 e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=5$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - 5 {\color{red}{\int{5 e^{u} d u}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 5 {\color{red}{\left(5 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{5}$$$:

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 e^{{\color{red}{u}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{5}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{x e^{\frac{x}{5}} d x} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 e^{\frac{x}{5}}$$

簡単化せよ:

$$\int{x e^{\frac{x}{5}} d x} = 5 \left(x - 5\right) e^{\frac{x}{5}}$$

積分定数を加える:

$$\int{x e^{\frac{x}{5}} d x} = 5 \left(x - 5\right) e^{\frac{x}{5}}+C$$

$$$\int x e^{\frac{x}{5}}\, dx = 5 \left(x - 5\right) e^{\frac{x}{5}} + C$$$A