$$$\sqrt[4]{2} x \sqrt[4]{x^{5}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \sqrt[4]{2} x \sqrt[4]{x^{5}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\sqrt[4]{2} x \sqrt[4]{x^{5}} d x}=\int{\sqrt[4]{2} x^{\frac{9}{4}} d x}$$$。
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\sqrt[4]{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{9}{4}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\sqrt[4]{2} x^{\frac{9}{4}} d x}}} = {\color{red}{\sqrt[4]{2} \int{x^{\frac{9}{4}} d x}}}$$
$$$n=\frac{9}{4}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\sqrt[4]{2} {\color{red}{\int{x^{\frac{9}{4}} d x}}}=\sqrt[4]{2} {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{9}{4}}}{1 + \frac{9}{4}}}}=\sqrt[4]{2} {\color{red}{\left(\frac{4 x^{\frac{13}{4}}}{13}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\sqrt[4]{2} x^{\frac{9}{4}} d x} = \frac{4 \sqrt[4]{2} x^{\frac{13}{4}}}{13}$$
積分定数を加える:
$$\int{\sqrt[4]{2} x^{\frac{9}{4}} d x} = \frac{4 \sqrt[4]{2} x^{\frac{13}{4}}}{13}+C$$
解答
$$$\int \sqrt[4]{2} x \sqrt[4]{x^{5}}\, dx = \frac{4 \sqrt[4]{2} x^{\frac{13}{4}}}{13} + C$$$A