$$$\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2}$$$の積分

$$$\int \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

積分 $$$\int{x \cos{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(x \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 1 d x}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(x \sin{\left(x \right)} - \int{\sin{\left(x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(x \right)}$$$です:

$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} d x}}}}{2} = \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{2} + C$$$A