$$$\frac{v}{\sec{\left(v \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{v}{\sec{\left(v \right)}}\, dv$$$ を求めよ。

被積分関数を簡単化する:

$${\color{red}{\int{\frac{v}{\sec{\left(v \right)}} d v}}} = {\color{red}{\int{v \cos{\left(v \right)} d v}}}$$

積分 $$$\int{v \cos{\left(v \right)} d v}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{d\mu} = \operatorname{u}\operatorname{\mu} - \int \operatorname{\mu} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=v$$$ と $$$\operatorname{d\mu}=\cos{\left(v \right)} dv$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(v\right)^{\prime }dv=1 dv$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{\mu}=\int{\cos{\left(v \right)} d v}=\sin{\left(v \right)}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{v \cos{\left(v \right)} d v}}}={\color{red}{\left(v \cdot \sin{\left(v \right)}-\int{\sin{\left(v \right)} \cdot 1 d v}\right)}}={\color{red}{\left(v \sin{\left(v \right)} - \int{\sin{\left(v \right)} d v}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(v \right)} d v} = - \cos{\left(v \right)}$$$です:

$$v \sin{\left(v \right)} - {\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}} = v \sin{\left(v \right)} - {\color{red}{\left(- \cos{\left(v \right)}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\frac{v}{\sec{\left(v \right)}} d v} = v \sin{\left(v \right)} + \cos{\left(v \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{v}{\sec{\left(v \right)}} d v} = v \sin{\left(v \right)} + \cos{\left(v \right)}+C$$

$$$\int \frac{v}{\sec{\left(v \right)}}\, dv = \left(v \sin{\left(v \right)} + \cos{\left(v \right)}\right) + C$$$A