$$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

被積分関数を書き換える:

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\sec{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sec{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sec{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\sec{\left(x \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x} = \sec{\left(x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x} = \sec{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = \sec{\left(x \right)} + C$$$A