$$$\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$の積分

$$$\int \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x + \frac{\pi}{4}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + \frac{\pi}{4}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\cot{\left(u \right)} d u}}}$$

余接関数を$$$\cot\left( u \right)=\frac{\cos\left( u \right)}{\sin\left( u \right)}$$$として書き換えなさい:

$${\color{red}{\int{\cot{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}} d u}}}$$

$$$v=\sin{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(u \right)} du = dv$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\sin{\left(u \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + \frac{\pi}{4}$$$:

$$\ln{\left(\left|{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{\sin{\left({\color{red}{\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}} \right)}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx = \ln\left(\left|{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right) + C$$$A