$$$\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$の積分

$$$\int \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x + \frac{\pi}{4}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + \frac{\pi}{4}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$v=\cot{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\cot{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \csc^{2}{\left(u \right)} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\csc^{2}{\left(u \right)} du = - dv$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

分数を変形して分解する:

$$- {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}} = - {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

項別に積分せよ:

$$- {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = - {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:

$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} - {\color{red}{\int{1 d v}}} = \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} - {\color{red}{v}}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ です:

$$- v + {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}} = - v + {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\cot{\left(u \right)}$$$:

$$\operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} - {\color{red}{v}} = \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\cot{\left(u \right)}}} \right)} - {\color{red}{\cot{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + \frac{\pi}{4}$$$:

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}} \right)} \right)}$$

したがって、

$$\int{\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x} = - \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x} = - \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}+C$$

$$$\int \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx = \left(- \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}\right) + C$$$A