$$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$の積分

$$$\int \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \tan{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 \tan{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\tan{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

正接を$$$\tan\left( u \right)=\frac{\sin\left( u \right)}{\cos\left( u \right)}$$$に書き換える:

$$2 {\color{red}{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}$$

$$$v=\cos{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\cos{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \sin{\left(u \right)} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sin{\left(u \right)} du = - dv$$$ となります。

したがって、

$$2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ に対して適用する:

$$2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{v} d v}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$- 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\cos{\left(u \right)}$$$:

$$- 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$- 2 \ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = - 2 \ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = - 2 \ln{\left(\left|{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = - 2 \ln{\left(\left|{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = - 2 \ln\left(\left|{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right) + C$$$A