$$$t e^{- t}$$$の積分

$$$\int t e^{- t}\, dt$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{t e^{- t} d t}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=t$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{t e^{- t} d t}}}={\color{red}{\left(t \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 1 d t}\right)}}={\color{red}{\left(- t e^{- t} - \int{\left(- e^{- t}\right)d t}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$ に対して適用する:

$$- t e^{- t} - {\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = - t e^{- t} - {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

$$$u=- t$$$ とする。

すると $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = - du$$$ となります。

したがって、

$$- t e^{- t} + {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - t e^{- t} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$- t e^{- t} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - t e^{- t} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- t e^{- t} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - t e^{- t} - {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- t$$$:

$$- t e^{- t} - e^{{\color{red}{u}}} = - t e^{- t} - e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

したがって、

$$\int{t e^{- t} d t} = - t e^{- t} - e^{- t}$$

簡単化せよ:

$$\int{t e^{- t} d t} = \left(- t - 1\right) e^{- t}$$

積分定数を加える:

$$\int{t e^{- t} d t} = \left(- t - 1\right) e^{- t}+C$$

$$$\int t e^{- t}\, dt = \left(- t - 1\right) e^{- t} + C$$$A