$$$1 - u^{2}$$$の積分

$$$\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - u^{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{u^{2} d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$- \int{u^{2} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - \int{u^{2} d u} + {\color{red}{u}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$u - {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=u - {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=u - {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(1 - u^{2}\right)d u} = - \frac{u^{3}}{3} + u$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(1 - u^{2}\right)d u} = - \frac{u^{3}}{3} + u+C$$

$$$\int \left(1 - u^{2}\right)\, du = \left(- \frac{u^{3}}{3} + u\right) + C$$$A