$$$\sqrt{y^{5}}$$$の積分

$$$\int \sqrt{y^{5}}\, dy$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\sqrt{y^{5}} d y}=\int{y^{\frac{5}{2}} d y}$$$。

$$$n=\frac{5}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{y^{\frac{5}{2}} d y}}}={\color{red}{\frac{y^{1 + \frac{5}{2}}}{1 + \frac{5}{2}}}}={\color{red}{\left(\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}\right)}}$$

したがって、

$$\int{y^{\frac{5}{2}} d y} = \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}$$

積分定数を加える:

$$\int{y^{\frac{5}{2}} d y} = \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}+C$$

$$$\int \sqrt{y^{5}}\, dy = \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C$$$A