$$$\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x^{4}}$$$の積分

$$$\int \frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x^{4}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=2 \sinh{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(2 \sinh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \cosh{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x^{4}} = \frac{\sqrt{4 \sinh^{2}{\left( u \right)} + 4}}{16 \sinh^{4}{\left( u \right)}}$$$

恒等式 $$$\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1 = \cosh^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{\sqrt{4 \sinh^{2}{\left( u \right)} + 4}}{16 \sinh^{4}{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1}}{8 \sinh^{4}{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}}}{8 \sinh^{4}{\left( u \right)}}$$$

$$$\frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}}}{8 \sinh^{4}{\left( u \right)}} = \frac{\cosh{\left( u \right)}}{8 \sinh^{4}{\left( u \right)}}$$$

積分は以下のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cosh^{2}{\left(u \right)}}{4 \sinh^{4}{\left(u \right)}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{\cosh^{2}{\left(u \right)}}{\sinh^{4}{\left(u \right)}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cosh^{2}{\left(u \right)}}{4 \sinh^{4}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{\cosh^{2}{\left(u \right)}}{\sinh^{4}{\left(u \right)}} d u}}{4}\right)}}$$

分子と分母に$$$\frac{1}{\cosh^{4}{\left( u \right)}}$$$を掛け、$$$\frac{\cosh^{4}{\left( u \right)}}{\sinh^{4}{\left( u \right)}}$$$を$$$\frac{1}{\tanh^{4}{\left( u \right)}}$$$に変換します。:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\cosh^{2}{\left(u \right)}}{\sinh^{4}{\left(u \right)}} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{2}{\left(u \right)} \tanh^{4}{\left(u \right)}} d u}}}}{4}$$

$$$v=\tanh{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\tanh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} du = dv$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{2}{\left(u \right)} \tanh^{4}{\left(u \right)}} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v^{4}} d v}}}}{4}$$

$$$n=-4$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v^{4}} d v}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\int{v^{-4} d v}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\frac{v^{-4 + 1}}{-4 + 1}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{v^{-3}}{3}\right)}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{3 v^{3}}\right)}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$v=\tanh{\left(u \right)}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{v}}^{-3}}{12} = - \frac{{\color{red}{\tanh{\left(u \right)}}}^{-3}}{12}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$$- \frac{\tanh^{-3}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{12} = - \frac{\tanh^{-3}{\left({\color{red}{\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}}} \right)}}{12}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x^{4}} d x} = - \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 x^{3}}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x^{4}} d x} = - \frac{\left(x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{12 x^{3}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x^{4}} d x} = - \frac{\left(x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{12 x^{3}}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x^{4}}\, dx = - \frac{\left(x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{12 x^{3}} + C$$$A