$$$\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}}$$$の積分

$$$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=3 \sin{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(3 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 3 \cos{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}{9 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}{9 \sin^{2}{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}{3 \sin^{2}{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}{3 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}{3 \sin^{2}{\left( u \right)}} = \frac{\cos{\left( u \right)}}{3 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

余接関数で表せ:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$v=\cot{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\cot{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \csc^{2}{\left(u \right)} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\csc^{2}{\left(u \right)} du = - dv$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

分数を変形して分解する:

$$- {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}} = - {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

項別に積分せよ:

$$- {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = - {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:

$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} - {\color{red}{\int{1 d v}}} = \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} - {\color{red}{v}}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ です:

$$- v + {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}} = - v + {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\cot{\left(u \right)}$$$:

$$\operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} - {\color{red}{v}} = \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\cot{\left(u \right)}}} \right)} - {\color{red}{\cot{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$$:

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}} \right)} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}}{x} \right)} - \frac{3 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}}{x}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x} \right)} - \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x} \right)} - \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}}\, dx = \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x} \right)} - \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}\right) + C$$$A