$$$\sqrt{64 - x^{2}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \sqrt{64 - x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
$$$x=8 \sin{\left(u \right)}$$$ とする。
すると $$$dx=\left(8 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 8 \cos{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。
また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}$$$が成り立つ。
被積分関数は次のようになる
$$$\sqrt{64 - x^{2}} = \sqrt{64 - 64 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$
恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:
$$$\sqrt{64 - 64 \sin^{2}{\left( u \right)}}=8 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}=8 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}$$$
$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:
$$$8 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} = 8 \cos{\left( u \right)}$$$
したがって、
$${\color{red}{\int{\sqrt{64 - x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{64 \cos^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=64$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{64 \cos^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(64 \int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}\right)}}$$
冪低減公式 $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ を $$$\alpha= u $$$ に適用する:
$$64 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}} = 64 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)} + 1$$$ に対して適用する:
$$64 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}} = 64 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}{2}\right)}}$$
項別に積分せよ:
$$32 {\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}} = 32 {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}$$
$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:
$$32 \int{\cos{\left(2 u \right)} d u} + 32 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 32 \int{\cos{\left(2 u \right)} d u} + 32 {\color{red}{u}}$$
$$$v=2 u$$$ とする。
すると $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{2}$$$ となります。
積分は次のようになります
$$32 u + 32 {\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}} = 32 u + 32 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:
$$32 u + 32 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}} = 32 u + 32 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}$$
余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:
$$32 u + 16 {\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}} = 32 u + 16 {\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}$$
次のことを思い出してください $$$v=2 u$$$:
$$32 u + 16 \sin{\left({\color{red}{v}} \right)} = 32 u + 16 \sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}$$
次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}$$$:
$$16 \sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} + 32 {\color{red}{u}} = 16 \sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}}} \right)} + 32 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}}}$$
したがって、
$$\int{\sqrt{64 - x^{2}} d x} = 16 \sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)} \right)} + 32 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}$$
公式 $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$ を用いて、式を簡単化しなさい:
$$\int{\sqrt{64 - x^{2}} d x} = 4 x \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}} + 32 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}$$
さらに簡単化:
$$\int{\sqrt{64 - x^{2}} d x} = \frac{x \sqrt{64 - x^{2}}}{2} + 32 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}$$
積分定数を加える:
$$\int{\sqrt{64 - x^{2}} d x} = \frac{x \sqrt{64 - x^{2}}}{2} + 32 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}+C$$
解答
$$$\int \sqrt{64 - x^{2}}\, dx = \left(\frac{x \sqrt{64 - x^{2}}}{2} + 32 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right) + C$$$A