$$$e^{\frac{x}{2}}$$$の積分

$$$\int e^{\frac{x}{2}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{x}{2}} d x} = 2 e^{\frac{x}{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{x}{2}} d x} = 2 e^{\frac{x}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 e^{\frac{x}{2}} + C$$$A