$$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sin{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \cos{\left(x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(x \right)} dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{u d u}}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{u d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sin{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{2}}{2} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}^{2}}{2}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + C$$$A