$$$\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}$$$の積分

$$$\int \frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}\, dz$$$ を求めよ。

$$$u=2 z$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 z\right)^{\prime }dz = 2 dz$$$（手順は»で確認できます）、$$$dz = \frac{du}{2}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

この積分（正弦積分）には閉形式はありません:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 z$$$:

$$\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(2 z\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z} = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z} d z} = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 z \right)}}{z}\, dz = \operatorname{Si}{\left(2 z \right)} + C$$$A