$$$\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sin{\left(2 x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(2 x \right)} dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{u}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u d u}}{2}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{u d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sin{\left(2 x \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{2}}{4} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(2 x \right)}}}^{2}}{4}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + C$$$A