$$$\sin{\left(\frac{x}{y} \right)}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{y}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = y du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{y \sin{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=y$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{y \sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{y \int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$y {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = y {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$- y \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - y \cos{\left({\color{red}{\frac{x}{y}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x} = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(\frac{x}{y} \right)} d x} = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}\, dx = - y \cos{\left(\frac{x}{y} \right)} + C$$$A