$$$\sin{\left(\pi x^{2} \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(\pi x^{2} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt{\pi} x$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{\pi} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{\pi} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{\sqrt{\pi}}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\pi x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u^{2} \right)}}{\sqrt{\pi}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u^{2} \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u^{2} \right)}}{\sqrt{\pi}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u^{2} \right)} d u}}{\sqrt{\pi}}}}$$

この積分（フレネル正弦積分）には閉形式はありません:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u^{2} \right)} d u}}}}{\sqrt{\pi}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} u}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}}{\sqrt{\pi}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{\pi} x$$$:

$$\frac{\sqrt{2} S\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} = \frac{\sqrt{2} S\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\sqrt{\pi} x}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(\pi x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} S\left(\sqrt{2} x\right)}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(\pi x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} S\left(\sqrt{2} x\right)}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(\pi x^{2} \right)}\, dx = \frac{\sqrt{2} S\left(\sqrt{2} x\right)}{2} + C$$$A