$$$\sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{\pi x}{30}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{\pi x}{30}\right)^{\prime }dx = \frac{\pi}{30} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{30 du}{\pi}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{30 \sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{30}{\pi}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{30 \sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{30 \int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{30 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{\pi} = \frac{30 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{\pi}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{\pi x}{30}$$$:

$$- \frac{30 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{\pi} = - \frac{30 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{\pi x}{30}\right)}} \right)}}{\pi}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)} d x} = - \frac{30 \cos{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}}{\pi}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)} d x} = - \frac{30 \cos{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}}{\pi}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}\, dx = - \frac{30 \cos{\left(\frac{\pi x}{30} \right)}}{\pi} + C$$$A