$$$\sin{\left(x + y \right)}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x + y$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + y\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\sin{\left(x + y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + y$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\left(x + y\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx = - \cos{\left(x + y \right)} + C$$$A