$$$\frac{j_{0} \sin{\left(k^{2} t \right)}}{k}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int \frac{j_{0} \sin{\left(k^{2} t \right)}}{k}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\frac{j_{0}}{k}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(k^{2} t \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{j_{0} \sin{\left(k^{2} t \right)}}{k} d t}}} = {\color{red}{\frac{j_{0} \int{\sin{\left(k^{2} t \right)} d t}}{k}}}$$

$$$u=k^{2} t$$$ とする。

すると $$$du=\left(k^{2} t\right)^{\prime }dt = k^{2} dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = \frac{du}{k^{2}}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{j_{0} {\color{red}{\int{\sin{\left(k^{2} t \right)} d t}}}}{k} = \frac{j_{0} {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{k^{2}} d u}}}}{k}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{k^{2}}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{j_{0} {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{k^{2}} d u}}}}{k} = \frac{j_{0} {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{k^{2}}}}}{k}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{j_{0} {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{k^{3}} = \frac{j_{0} {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{k^{3}}$$

次のことを思い出してください $$$u=k^{2} t$$$:

$$- \frac{j_{0} \cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{k^{3}} = - \frac{j_{0} \cos{\left({\color{red}{k^{2} t}} \right)}}{k^{3}}$$

したがって、

$$\int{\frac{j_{0} \sin{\left(k^{2} t \right)}}{k} d t} = - \frac{j_{0} \cos{\left(k^{2} t \right)}}{k^{3}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{j_{0} \sin{\left(k^{2} t \right)}}{k} d t} = - \frac{j_{0} \cos{\left(k^{2} t \right)}}{k^{3}}+C$$

$$$\int \frac{j_{0} \sin{\left(k^{2} t \right)}}{k}\, dt = - \frac{j_{0} \cos{\left(k^{2} t \right)}}{k^{3}} + C$$$A