$$$- \sin{\left(3 x - 2 \right)}$$$の積分

$$$\int \left(- \sin{\left(3 x - 2 \right)}\right)\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x - 2 \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \sin{\left(3 x - 2 \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sin{\left(3 x - 2 \right)} d x}\right)}}$$

$$$u=3 x - 2$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 x - 2\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$- {\color{red}{\int{\sin{\left(3 x - 2 \right)} d x}}} = - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$- {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 x - 2$$$:

$$\frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(3 x - 2\right)}} \right)}}{3}$$

したがって、

$$\int{\left(- \sin{\left(3 x - 2 \right)}\right)d x} = \frac{\cos{\left(3 x - 2 \right)}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \sin{\left(3 x - 2 \right)}\right)d x} = \frac{\cos{\left(3 x - 2 \right)}}{3}+C$$

$$$\int \left(- \sin{\left(3 x - 2 \right)}\right)\, dx = \frac{\cos{\left(3 x - 2 \right)}}{3} + C$$$A