$$$\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}$$$ の $$$\pi$$$ に関する積分

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}\, d\pi$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(\pi \right)}\, d\pi = c \int f{\left(\pi \right)}\, d\pi$$$ を、$$$c=\frac{1}{z - 1}$$$ と $$$f{\left(\pi \right)} = \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi} d \pi}}{z - 1}}}$$

$$$u=\pi \left(z - 1\right)$$$ とする。

すると $$$du=\left(\pi \left(z - 1\right)\right)^{\prime }d\pi = \left(z - 1\right) d\pi$$$（手順は»で確認できます）、$$$d\pi = \frac{du}{z - 1}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi} d \pi}}}}{z - 1} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}}{z - 1}$$

この積分（正弦積分）には閉形式はありません:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}}{z - 1} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}}{z - 1}$$

次のことを思い出してください $$$u=\pi \left(z - 1\right)$$$:

$$\frac{\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{z - 1} = \frac{\operatorname{Si}{\left({\color{red}{\pi \left(z - 1\right)}} \right)}}{z - 1}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi} = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi} = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}\, d\pi = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1} + C$$$A