$$$\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sin{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \cos{\left(x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(x \right)} dx = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sin{\left(x \right)}$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\sin{\left(x \right)}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + C$$$A