$$$\sec{\left(\pi x \right)}$$$の積分

$$$\int \sec{\left(\pi x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\pi x$$$ とする。

すると $$$du=\left(\pi x\right)^{\prime }dx = \pi dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{\pi}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\sec{\left(\pi x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{\pi}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sec{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sec{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sec{\left(u \right)} d u}}{\pi}}}$$

正割関数を$$$\sec\left( u \right)=\frac{1}{\cos\left( u \right)}$$$として書き換える:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sec{\left(u \right)} d u}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{\pi}$$

公式 $$$\cos\left( u \right)=\sin\left( u + \frac{\pi}{2}\right)$$$ を用いて余弦を正弦で表し、次に2倍角の公式 $$$\sin\left( u \right)=2\sin\left(\frac{ u }{2}\right)\cos\left(\frac{ u }{2}\right)$$$ を用いて正弦を書き換えなさい。:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{\pi}$$

分子と分母に$$$\sec^2\left(\frac{ u }{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$を掛ける:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{\pi}$$

$$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} du = 2 dv$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{\pi}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{\pi}$$

次のことを思い出してください $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{\pi} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{\pi}$$

次のことを思い出してください $$$u=\pi x$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{\pi} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{\pi x}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{\pi}$$

したがって、

$$\int{\sec{\left(\pi x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{\pi}$$

簡単化せよ:

$$\int{\sec{\left(\pi x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\pi \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right) \right)}}\right| \right)}}{\pi}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sec{\left(\pi x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\pi \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right) \right)}}\right| \right)}}{\pi}+C$$

$$$\int \sec{\left(\pi x \right)}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\pi \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right) \right)}}\right|\right)}{\pi} + C$$$A