$$$\sec^{2}{\left(x + 1 \right)}$$$の積分

$$$\int \sec^{2}{\left(x + 1 \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(x + 1 \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + 1$$$:

$$\tan{\left({\color{red}{u}} \right)} = \tan{\left({\color{red}{\left(x + 1\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\sec^{2}{\left(x + 1 \right)} d x} = \tan{\left(x + 1 \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sec^{2}{\left(x + 1 \right)} d x} = \tan{\left(x + 1 \right)}+C$$

$$$\int \sec^{2}{\left(x + 1 \right)}\, dx = \tan{\left(x + 1 \right)} + C$$$A