$$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}$$$の積分

$$$\int \sec^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{6}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{6}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{6}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 6 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{6 \sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=6$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{6 \sec^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(6 \int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$ です:

$$6 {\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}} = 6 {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{6}$$$:

$$6 \tan{\left({\color{red}{u}} \right)} = 6 \tan{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{6}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\sec^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} d x} = 6 \tan{\left(\frac{x}{6} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sec^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} d x} = 6 \tan{\left(\frac{x}{6} \right)}+C$$

$$$\int \sec^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx = 6 \tan{\left(\frac{x}{6} \right)} + C$$$A