$$$1 - \sin{\left(2 x \right)}$$$の積分

$$$\int \left(1 - \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \sin{\left(2 x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{\sin{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{\sin{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{x}}$$

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$$x - {\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}} = x - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$x - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = x - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$x - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = x - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$x + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = x + \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\left(1 - \sin{\left(2 x \right)}\right)d x} = x + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(1 - \sin{\left(2 x \right)}\right)d x} = x + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \left(1 - \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = \left(x + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) + C$$$A