$$$\ln\left(-1 + \frac{1}{x}\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(-1 + \frac{1}{x}\right)\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{1}{x \left(x - 1\right)} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x \left(x - 1\right)} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - \int{\frac{1}{x - 1} d x}\right)}}$$

$$$u=x - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

したがって、

$$x \ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = x \ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$x \ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = x \ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 1$$$:

$$x \ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = x \ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} d x} = x \ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} d x} = x \ln{\left(\frac{1 - x}{x} \right)} - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(-1 + \frac{1}{x} \right)} d x} = x \ln{\left(\frac{1 - x}{x} \right)} - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \ln\left(-1 + \frac{1}{x}\right)\, dx = \left(x \ln\left(\frac{1 - x}{x}\right) - \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)\right) + C$$$A