$$$\ln\left(x\right) \cosh{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int \ln\left(x\right) \cosh{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cosh{\left(x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cosh{\left(x \right)} d x}=\sinh{\left(x \right)}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \sinh{\left(x \right)}-\int{\sinh{\left(x \right)} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} - \int{\frac{\sinh{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}$$

この積分（双曲線正弦積分）には閉形式はありません:

$$\ln{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\sinh{\left(x \right)}}{x} d x}}} = \ln{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} - {\color{red}{\operatorname{Shi}{\left(x \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} - \operatorname{Shi}{\left(x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} - \operatorname{Shi}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \ln\left(x\right) \cosh{\left(x \right)}\, dx = \left(\ln\left(x\right) \sinh{\left(x \right)} - \operatorname{Shi}{\left(x \right)}\right) + C$$$A