$$$\ln\left(d\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(d\right)\, dd$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\ln{\left(d \right)} d d}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(d \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dd$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(d \right)}\right)^{\prime }dd=\frac{dd}{d}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d d}=d$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(d \right)} d d}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(d \right)} \cdot d-\int{d \cdot \frac{1}{d} d d}\right)}}={\color{red}{\left(d \ln{\left(d \right)} - \int{1 d d}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dd = c d$$$ を適用する:

$$d \ln{\left(d \right)} - {\color{red}{\int{1 d d}}} = d \ln{\left(d \right)} - {\color{red}{d}}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \ln{\left(d \right)} - d$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \left(\ln{\left(d \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \left(\ln{\left(d \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(d\right)\, dd = d \left(\ln\left(d\right) - 1\right) + C$$$A