$$$\ln\left(\frac{1}{1 - x}\right)$$$の積分

$$$\int \left(- \ln\left(1 - x\right)\right)\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\ln{\left(\frac{1}{1 - x} \right)} d x}=\int{\left(- \ln{\left(1 - x \right)}\right)d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(1 - x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(1 - x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(1 - x \right)} d x}\right)}}$$

$$$u=1 - x$$$ とする。

すると $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$- {\color{red}{\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x}}} = - {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$- {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}={\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}$$

次のことを思い出してください $$$u=1 - x$$$:

$$- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - {\color{red}{\left(1 - x\right)}} + {\color{red}{\left(1 - x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(1 - x\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\left(- \ln{\left(1 - x \right)}\right)d x} = x + \left(1 - x\right) \ln{\left(1 - x \right)} - 1$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(- \ln{\left(1 - x \right)}\right)d x} = x - \left(x - 1\right) \ln{\left(1 - x \right)} - 1$$

積分定数を加える（式から定数を取り除く）：

$$\int{\left(- \ln{\left(1 - x \right)}\right)d x} = x - \left(x - 1\right) \ln{\left(1 - x \right)}+C$$

$$$\int \left(- \ln\left(1 - x\right)\right)\, dx = \left(x - \left(x - 1\right) \ln\left(1 - x\right)\right) + C$$$A