$$$\ln\left(y\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(y\right)\, dy$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\ln{\left(y \right)} d y}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(y \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dy$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy=\frac{dy}{y}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d y}=y$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\ln{\left(y \right)} d y}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(y \right)} \cdot y-\int{y \cdot \frac{1}{y} d y}\right)}}={\color{red}{\left(y \ln{\left(y \right)} - \int{1 d y}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dy = c y$$$ を適用する:

$$y \ln{\left(y \right)} - {\color{red}{\int{1 d y}}} = y \ln{\left(y \right)} - {\color{red}{y}}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \ln{\left(y \right)} - y$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \left(\ln{\left(y \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \left(\ln{\left(y \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(y\right)\, dy = y \left(\ln\left(y\right) - 1\right) + C$$$A