$$$\ln\left(x_{0}\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(x_{0}\right)\, dx_{0}$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x_{0} \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx_{0}$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x_{0} \right)}\right)^{\prime }dx_{0}=\frac{dx_{0}}{x_{0}}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x_{0}}=x_{0}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x_{0} \right)} \cdot x_{0}-\int{x_{0} \cdot \frac{1}{x_{0}} d x_{0}}\right)}}={\color{red}{\left(x_{0} \ln{\left(x_{0} \right)} - \int{1 d x_{0}}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx_{0} = c x_{0}$$$ を適用する:

$$x_{0} \ln{\left(x_{0} \right)} - {\color{red}{\int{1 d x_{0}}}} = x_{0} \ln{\left(x_{0} \right)} - {\color{red}{x_{0}}}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}} = x_{0} \ln{\left(x_{0} \right)} - x_{0}$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}} = x_{0} \left(\ln{\left(x_{0} \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}} = x_{0} \left(\ln{\left(x_{0} \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(x_{0}\right)\, dx_{0} = x_{0} \left(\ln\left(x_{0}\right) - 1\right) + C$$$A