$$$\ln\left(\frac{x}{x_{0}}\right)$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \ln\left(\frac{x}{x_{0}}\right)\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{x_{0}}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x_{0}}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = x_{0} du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{x_{0} \ln{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=x_{0}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{x_{0} \ln{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{x_{0} \int{\ln{\left(u \right)} d u}}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{s} \operatorname{dv} = \operatorname{s}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{ds}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{s}=\ln{\left(u \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{ds}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$x_{0} {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=x_{0} {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=x_{0} {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$x_{0} \left(u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}}\right) = x_{0} \left(u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}\right)$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{x_{0}}$$$:

$$x_{0} \left(- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}\right) = x_{0} \left(- {\color{red}{\frac{x}{x_{0}}}} + {\color{red}{\frac{x}{x_{0}}}} \ln{\left({\color{red}{\frac{x}{x_{0}}}} \right)}\right)$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} d x} = x_{0} \left(\frac{x \ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)}}{x_{0}} - \frac{x}{x_{0}}\right)$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} d x} = x \left(\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} d x} = x \left(\ln{\left(\frac{x}{x_{0}} \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(\frac{x}{x_{0}}\right)\, dx = x \left(\ln\left(\frac{x}{x_{0}}\right) - 1\right) + C$$$A