$$$\ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{2} - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$2 u \ln{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 2 u \ln{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{u}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{2} - 1$$$:

$$- 2 {\color{red}{u}} + 2 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + 2 \left(\frac{x}{2} - 1\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + \left(x - 2\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2$$

積分定数を加える（式から定数を取り除く）：

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + \left(x - 2\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}+C$$

$$$\int \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\, dx = \left(- x + \left(x - 2\right) \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\right) + C$$$A