$$$\ln\left(u + v\right)$$$ の $$$u$$$ に関する積分

$$$\int \ln\left(u + v\right)\, du$$$ を求めよ。

$$$w=u + v$$$ とする。

すると $$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = dw$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u + v \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\ln{\left(w \right)} d w}}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(w \right)} d w}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{z} \operatorname{dl} = \operatorname{z}\operatorname{l} - \int \operatorname{l} \operatorname{dz}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{z}=\ln{\left(w \right)}$$$ と $$$\operatorname{dl}=dw$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dz}=\left(\ln{\left(w \right)}\right)^{\prime }dw=\frac{dw}{w}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{l}=\int{1 d w}=w$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\ln{\left(w \right)} d w}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(w \right)} \cdot w-\int{w \cdot \frac{1}{w} d w}\right)}}={\color{red}{\left(w \ln{\left(w \right)} - \int{1 d w}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dw = c w$$$ を適用する:

$$w \ln{\left(w \right)} - {\color{red}{\int{1 d w}}} = w \ln{\left(w \right)} - {\color{red}{w}}$$

次のことを思い出してください $$$w=u + v$$$:

$$- {\color{red}{w}} + {\color{red}{w}} \ln{\left({\color{red}{w}} \right)} = - {\color{red}{\left(u + v\right)}} + {\color{red}{\left(u + v\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(u + v\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = - u - v + \left(u + v\right) \ln{\left(u + v \right)}$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = \left(u + v\right) \left(\ln{\left(u + v \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = \left(u + v\right) \left(\ln{\left(u + v \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(u + v\right)\, du = \left(u + v\right) \left(\ln\left(u + v\right) - 1\right) + C$$$A