$$$\ln\left(f x\right)$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \ln\left(f x\right)\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=f x$$$ とする。

すると $$$du=\left(f x\right)^{\prime }dx = f dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{f}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\ln{\left(f x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{f} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{f}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{f} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{f}}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{r} \operatorname{dv} = \operatorname{r}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dr}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{r}=\ln{\left(u \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dr}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{f}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{f}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{f}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\frac{u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}}}{f} = \frac{u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}}{f}$$

次のことを思い出してください $$$u=f x$$$:

$$\frac{- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{f} = \frac{- {\color{red}{f x}} + {\color{red}{f x}} \ln{\left({\color{red}{f x}} \right)}}{f}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(f x \right)} d x} = \frac{f x \ln{\left(f x \right)} - f x}{f}$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(f x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(f x \right)} - 1\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(f x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(f x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(f x\right)\, dx = x \left(\ln\left(f x\right) - 1\right) + C$$$A