$$$\ln\left(5 x^{2}\right)$$$の積分

$$$\int \ln\left(5 x^{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\ln{\left(5 x^{2} \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(5 x^{2} \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(5 x^{2} \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{2}{x} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\ln{\left(5 x^{2} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(5 x^{2} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(5 x^{2} \right)} - \int{2 d x}\right)}}$$

$$$c=2$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$x \ln{\left(5 x^{2} \right)} - {\color{red}{\int{2 d x}}} = x \ln{\left(5 x^{2} \right)} - {\color{red}{\left(2 x\right)}}$$

したがって、

$$\int{\ln{\left(5 x^{2} \right)} d x} = x \ln{\left(5 x^{2} \right)} - 2 x$$

簡単化せよ:

$$\int{\ln{\left(5 x^{2} \right)} d x} = x \left(2 \ln{\left(x \right)} - 2 + \ln{\left(5 \right)}\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\ln{\left(5 x^{2} \right)} d x} = x \left(2 \ln{\left(x \right)} - 2 + \ln{\left(5 \right)}\right)+C$$

$$$\int \ln\left(5 x^{2}\right)\, dx = x \left(2 \ln\left(x\right) - 2 + \ln\left(5\right)\right) + C$$$A