$$$\frac{f^{2}}{f^{2} + 1}$$$の積分

$$$\int \frac{f^{2}}{f^{2} + 1}\, df$$$ を求めよ。

分数を変形して分解する:

$${\color{red}{\int{\frac{f^{2}}{f^{2} + 1} d f}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{f^{2} + 1}\right)d f}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{f^{2} + 1}\right)d f}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d f} - \int{\frac{1}{f^{2} + 1} d f}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, df = c f$$$ を適用する:

$$- \int{\frac{1}{f^{2} + 1} d f} + {\color{red}{\int{1 d f}}} = - \int{\frac{1}{f^{2} + 1} d f} + {\color{red}{f}}$$

$$$\frac{1}{f^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{f^{2} + 1} d f} = \operatorname{atan}{\left(f \right)}$$$ です:

$$f - {\color{red}{\int{\frac{1}{f^{2} + 1} d f}}} = f - {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(f \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{f^{2}}{f^{2} + 1} d f} = f - \operatorname{atan}{\left(f \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{f^{2}}{f^{2} + 1} d f} = f - \operatorname{atan}{\left(f \right)}+C$$

$$$\int \frac{f^{2}}{f^{2} + 1}\, df = \left(f - \operatorname{atan}{\left(f \right)}\right) + C$$$A